Question

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、

如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c．
求证DG平分∠EDF！

Answer 1

证明：
因为△BDG与四边形ACDG的周长相等
所以BG=AG+AC

因为AE=CE=FD，BF=AF=DE
所以FG+DE=AE+FD+AG=2FD+AG
因为DE=AG+FG
所以FG+DE=2FG+AG=2FD+AG
所以FG=FD
所以∠FDG=∠FGD
过点G作FD的平行线交DE与点H
易得GH=DH
所以∠GDH=∠HGD
因为GH平行FD
所以∠FDG=∠HGD
所以∠FDG=∠GDH
所以DG平分∠EDF
Q.E.D.

Answer 2

：（1）∵D、C、F分别是△ABC三边中点，∴DEAB，DFAC。
　　　　　　　　　又∵△BDG与四边形ACDG周长相等，即BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG，
　　　　　　　　　∴BG=AC+AG　　　　　　　　　∵BG=AB－AG，∴BG=。
　　　　　　（2）证明：BG=，FG=BG－BF=，∴FG=DF。∴∠FDG=∠FGD。
　　　　　　　　　又∵DE∥AB，∴∠EDG=∠FGD。∴∠FDG=∠EDG。
　　　　　　　　　∴DG平分∠EDF。
　　　　　　（3）在△DFG中，∠FDG=∠FGD，∴△DFG是等腰三角形。
　　　　　　　　　∵△BDG与△DFG相似，∴△BDG是等腰三角形。
　　　　　　　　　∴∠B=∠BGD。∴BD=DG。
　　　　　　　　　∴CD= BD=DG。∴B、G、C三点共圆。
　　　　　　　　　∴∠BGC=90°。∴BG⊥CG。

Answer 3

各位需要第三问的来着看，满意的请打赞同：
证明：∵△BDG与△DFG相似，∠DFG＞∠B，∠BGD=∠DGF（公共角），
∴∠B=∠FDG，
由（2）得：∠FGD=∠FDG，
∴∠FGD=∠B，
∴DG=BD，
∵BD=CD，
∴DG=BD=CD，
∴B、G、C三点在以BC为直径的圆周上，
∴∠BGC=90°，
即BG⊥CG．

Answer 4

：∵点D、F分别是BC、AB的中点，
∴DF=

　　　　1
　　2
AC=

　　1
　　2
b，BF=

　　1
　　2
AB=

　　1
　　2
c，又∵FG=BG-BF=

　　1
　　2
（b+c）-

　　1
　　2
c=

　　1
　　2
b，

　　∴DF=FG，
　　∴∠FDG=∠FGD，
　　∵点D、E分别是BC、AC的中点，
　　∴DE∥AB，
　　∴∠EDG=∠FGD，
　　∴∠FDG=∠EDG，
　　即DG平分∠EDF；

Answer 5

试试看被，不一定欧有啊勇气就可以了，非得要回答的争气，