Question

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．

Answer 1

 

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，
     ∴△ACE∽△ADF；

∴AE/AF=CE/FD

∴AE•FD=AF•EC
（2）证明：连接CB、OC；
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∵F是BD中点，
∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO．
∴∠OCF=90°，
又∵OC为圆O半径，
∴CG是⊙O的切线．

又BD是⊙O的切线

∴∠FCB=∠FBC

∴FC=FB

（3）由△AEH∽△AFB

∴AE/AF=CE/FD=HE/BF
∵HE=EC，
∴BF=FD，即点F是BD中点．

∵FC=FB=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠FEC=∠AEH，
∴∠FCE=∠AEH，
∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，
∴∠G=∠FAB，
∴FA=FG，
∵FB⊥AG，
∴AB=BG．

∵（2+FG)^=BG×AG=2BG^2①
∵BG^2=FG^2-BF^2②
由①、②得：FG^2-4FG-12=0
∴FG=6，或FG=-2（舍去）
∴AB=BG=4sqr(2)
∴⊙O半径为2sqr(2)

追问

(2)里F为什么是BD的中点

追答

CE/FD=HE/BF这个成立呀
把HE=EC代入CE/FD=HE/BF得HE/FD=HE/BF
约去HE呀有1/FD=1/BF
有FD=BF
F是BD的中点