Question

双曲线x^2/4-y^2/b^2=1的两个焦点为F1.F2，P为双曲线上一点，OP<5，PF1,， F1F2, PF2成等比数列

求b^2=?
答案为1
要详解，要过程

Answer 1

似乎少条件吧？
应该还有b∈N这个条件

∵F1F2²=PF1*PF2
∴4c²=PF1*PF2
∵PF1-PF2=4
∴PF1²+PF2²-2PF1*PF2=16
即：PF1²+PF2²-8c²=16 ①
设：∠POF1=θ，则：∠POF2=π-θ
由余弦定理可得：PF2²=c²+OP²-2OF2*OP*cos(π-θ)，PF1²=c²+OP²-2OF1*OP*cosθ
整理得：PF2²+PF1²=2c²+2OP² ②
由①②化简得：OP²=8+3c²=20+3b²
∵OP＜5
∴20+3b²＜25
∵b∈N
∴b²=1

希望我的回答对你有帮助，采纳吧O(∩_∩)O！

Answer 2

解：由题意，|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等比数列可知，|F1F2|2=|PF1||PF2|，
即4c2=|PF1||PF2|，
由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=4，即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16，
可得|PF1|2+|PF2|2-8c2=16…①
设∠POF1=θ，则∠POF2=π-θ，
由余弦定理可得：|PF2|2=c2+|OP|2-2|OF2||OP|cos（π-θ），|PF1|2=c2+|OP|2-2|OF1||OP|cosθ，
|PF2|2+PF1|2=2c2+2|OP|2，…②，
由①②化简得：|OP|2=8+3c2=20+3b2．
因为|OP|＜5，b∈N，所以20+3b2＜25．
所以b=1．
故答案为：1．