Question

求解圆锥曲线一道题

已知椭圆 C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0) 的离心率为 √2/2 ,以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+√2=0 相切
(1)求椭圆C方程
(2)若过点M(0，2）的直线与椭圆C相交于A,B两点，设P为椭圆上一点，且满足
向量OA+向量OB=T倍向量OP(O为坐标原点），当
|向量PA-向量PB|<2√5/3 时（注意，前面有绝对值）
求实数T的取值范围
求详细解答以及详细解题思路，谢谢了
还有一个问题就是 向量PA-向量PB不就是向量BA么？那还和T有毛关系啊！
郁闷了小半个下午，求高手解答，谢谢了！

Answer 1

(1)因为离心率为√2/2，所以c/a=√2/2（圈1）
设圆的方程为x²+y²=b²

圆与直线相切，则圆心到直线的距离为圆的半径，由点到直线的距离有：
b=|1*0-1*0+√2|/√(1²+(-1)²)=√2/√2=1
又因为a²=b²+c²＝c²+1（圈2）
联立圈1圈2，解得
a=√2, c=1
所以椭圆C的方程为x²/2+y²=1
(2)因为直线过M（0，2），所以设直线方程为：y=kx+2
与椭圆方程联立，
消去y，可得(2k²+1)x²+8kx+6=0
消去x，可得(2k²+1)y²-4y+4-2k²=0
设A（xA,yA),B(xB,yB)
由韦达定理，得xA+xB=-8k/(2k²+1),xA*xB=6/(2k²+1)
yA+yB=4/(2k²+1),yA*yB=(4-2k²)/(2k²+1)
由于|向量PA-向量PB|<2√5/3
所以｜向量BA｜<2√5/3
｜向量BA｜＝√((xA-xB)²+(yA-yB)²)=√(x²A-2xAxB+x²B+y²A-2yAyB+y²B)
=√((xA+xB)²+(yA+yB)²-4xAyA-4xByB)<2√5/3
所以(xA+xB)²+(yA+yB)²-4xAyA-4xByB<20/9
将韦达定理得的结果代入上式
64k²/(2k²+1)²+16/(2k²+1)²-24/(2k²+1)-4(4-2k²)/(2k²+1)<20/9
解得

追问

但是这里没有T啊，怎么得到T的取值范围啊？

追答

我懒得解了，呵呵。
解出K是有一定的范围的，K取值不同，AB两个点的位置就会不同，又因为向量OA＋向量OB＝T向量OP，所以OP一定在以OA，OB为两边的平行四边形的一条对角线上，（另外一条对角线就是AB），所以P的位置也是有一个范围的，与K有关。P的位置有范围，那么T就有范围了。具体思路是这样，但是那个K我实在懒得解了，不好意思　。

Answer 2

由已知条件：b=c=二分之跟2 a
求得：b=r=1，b=c=1，a=跟2；
x方/2 +y方=1
（2）你理解对了，就是说明 | AB|< 2√5/3
利用这个条件
设过M的直线方程y=kx+2与椭圆联立，构成二次方程(2k方+1)x方+8kx+6=0，判别式大于0，
计算的2k方>3 , | AB|< 2√5/3，相当于9 AB|方< 20
利用根与系数关系求得：x1+x2= x1x2=
其中| AB|方=(1+k方)[(x1+x2)方-4x1x2]

追问

但是这里没有T啊，怎么得到T的取值范围啊？