Question

大家帮我看下这题为什么不能用积分中值定理做?

,老师的解释的原话是",因为
是位于0到1的内部,换句话说就是ξ位于区间内,所以是不能用积分中值定理的",老师这句话太简单了,我没听明白,有知道的能再详细点解释下吗?(PS:我知道什么叫积分中值定理)

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Answer 1

积分中值定理是说，若函数 f(x) 在 闭区间 [a, b]上连续,，则在积分闭区间 [a, b]上至少存在一个点 ξ，使下式成立

，其中，a、b、ξ满足：a≤ξ≤b，也就是说，ξ是可以取到区间的两个端点值a或者b，而题目中给定的是在开区间（0,1）的，其乘以x以后得到的参数x，也就是可以看成是ξ，所在区间是一个开区间(0,x)，因此取不到区间的两个端点值的，不满足积分中值定理得到的闭区间的条件，不能用积分中值定理。

我是这么想的，不知道对不对。

追问

可是积分中值定理不是有个推广吗?ξ是可以在开区间的,证明:令F(x)=∫(a到x)f(t)dt,F'(x)=f(x),
∫(a到b)f(x)dx=F(b)-F(a)=F'(ξ)(b-a)=f(ξ)(b-a) ,ξ属于开区间(a,b),此处用的是拉格朗日中值定理.
,这还是老师自己给我们推导的呢,他现在又说这个题不能用积分中值,弄得我很郁闷,你看看我说的哪里有破绽不?

追答

     证明应该是没问题的，然后我看题目觉得是这样的，f(x)的定义域是在[-a,a],题目中要求证明的是两个定积分之和，若是单独的一个定积分的证明的话，用中值定理是可以的，就你给的那个证明就是可以的。

     现在是两个不同的区间上的定积分之和，积分中值定理是说在区间中至少存在一个点 ξ，满足等式，对于f(x)在两个不同的区间上积分，当第一个用积分中值定理的时候，可以用x来表示ξ，但是第二个定积分，若用积分中值定理的话，其ξ不一定就是在-x处取到，可以在别处。

    我不知道你能不能理解我说的是什么意思，如果哪里错了请告诉我

追问

这个不是重点,因为不管用什么方法做这个题,首先就应该把两个积分区间合并,这样ξ就会是同一个,把∫(0到-x)f(t)dt做t=-u的变换,得∫(0到x)f(-u)(-du)=-∫(0到x)f(-t)dt,然后题目方程的左边两个积分就可以变成一个,即∫(0到x)[f(t)-f(-t)]dt

追答

对哦，我二了，呵呵，那我就不知道了，要不你问问老师吧，懂了的话告诉我

追问

我也是自己在家上的网校,没人问,自己复习准备考研