Question

已知函数f(x)=1/2ax²+(1-a)x-lnx其中a>-1,若f(x)有两个极值点

1，求实数a的取值范围
2，当-1<a≤2时，讨论函数f（x）的零点个数

Answer 1

• f'(x)=ax+1-a-1/x 根据已知令其为0应该得2个解 故而ax^2+(1-a)x-1=0(x>0）ax(x-1)+(x-1)=0       (ax+1)(x-1)=0   x1=1，x2=-1/a   a>-1, a不等于0,而x不能小于0，所以-1/a>0,a<0

• f''(x)=a+1/x^2  f(x)

• -1<a<0时 f(x)2个极值点都存在 f(1)=1/2a+1-a>0，f(-1/a)=1/2a+1-1/a-(ln1-ln-a)>0（括号内外皆大于0）所以此时函数无零点

• a在[0,2]时 f(x)只存在x=1这个极值点 f'(x)=(a+1/x)(x-1) 

• x>=1 导函数大于等于0，f(x)单调递增，f(1)在a=2时有零点x=1,其他f(x)>f(1)>0

• x<1   导函数小于等于0，f(x)单调递减，f(1)在a=2时有零点x=1 其他f(x)>f(1)>0

Answer 2

(1)f(x)的定义域为 x> 0
f(x)的导数＝ax+1- a - 1/x
ax+1- a - 1/x=0
ax^2+(1- a)x - 1=0
(x- 1)(ax+1)=0
x1=1,x2=- 1/a
- 1/a> 0
所以 a<0
- 1 <a<0
(2)可判断f(x1)为极小值，f(x2)极大值
f(x1)＝f(1)=1/2a+(1-a)-ln1=-1/2a+1>0
0<x<1时，易得f(x)> 0
1<x<- 1/a时，f(x)的导数>0，f(x)单调递增
x>- 1/a时，f(x)的导数<0，f(x)单调递减
零点个数为1个