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用反证法，不妨设单调函数f(x)为递增的，且在x0点处间断，其中x0∈[a,b]
则f(x0)-f(x0-)及f(x0+)-f(x0)中至少有一个大于0
若f(x0)-f(x0-)>0，即f(x0)>f(x0-)
则由函数f(x)的单调性可知，f(x)无法取到f(x0-)和f(x0)之间的数值
若f(x0+)-f(x0)>0，则同理可得，f(x)无法取到f(x0)和f(x0+)之间的数值
这与f(x)能取到f(a)与f(b)中间所有的数矛盾
从而f(x)在[a,b]上连续
则f(x0)-f(x0-)及f(x0+)-f(x0)中至少有一个大于0
若f(x0)-f(x0-)>0，即f(x0)>f(x0-)
则由函数f(x)的单调性可知，f(x)无法取到f(x0-)和f(x0)之间的数值
若f(x0+)-f(x0)>0，则同理可得，f(x)无法取到f(x0)和f(x0+)之间的数值
这与f(x)能取到f(a)与f(b)中间所有的数矛盾
从而f(x)在[a,b]上连续
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2024-10-28 广告
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