方阵的秩和特征值之间有什么联系吗？
如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。
比如矩阵
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
的特征值全为0，但秩为3。
设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或本征值。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量。
扩展资料：
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项。
若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
参考资料来源：百度百科--特征值
有关系的。如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了。
为讨论方便，设A为m阶方阵。
证明：设方阵A的秩为n。
因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如：
1 0 … 0 … 0
0 1 … 0 … 0
…………………
0 0 … 1 … 0
0 0 … 0 … 0
…………………
0 0 … 0 … 0
的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）。
本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为：
主对角线前若干个是1；其余的是若干个0。
以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B。
因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与
“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。
所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，
从同构的意义上说，他们是“无差别”的。
（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以
用形如“线性变换A”，表示线性变换
用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵）
如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立了
比如矩阵
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
的特征值全为0,但秩为3
不满秩，则0为其特征值。反之，0不是其特征值。
所有非0特征值的阶数之和等于秩。
再想不到了。
有问题请追问，没问题请采纳。
