Question

已知：三角形ABC两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根

已知三角形ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC长为5
（1）问k取何值时，三角形ABC是以BC为斜边的直角三角形？
（2）k为何值时，三角形ABC是等腰三角形，并求出此时三角形ABC的周长
两个小问噢，希望大家帮帮忙，要过程，谢谢！

Answer 1

(1)解:设AB=a,AC=b
所以a+b=2k+3
ab=k^2+3k+2
所以a^2+b^2=(2k+3)^2-2(k^2+3k+2)=2k^2+6k+5
因为BC为斜边
所以，a^2+b^2=c^2
所以，2k^2+6k+5=25
所以，k=2或k=-5
因为a+b>0,所以k>-3/2
所以k=2
(2)解
因为:△=(2k+3)^2-4(k^2+3k+2)=4k^2+12k+9-4k^2-12k-8=1>0，
所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，即AB≠AC。
那么要△ABC为等腰三角形，AB，AC中必有一个为5，所以，
25-5（2k+3）+k^2+3k+2=0，
k^2-7k+12=0.
(k-3)(k-4)=0，
k=3或k=4。
即，当k=3或4时，△ABC为等腰三角形。