Question

已知f(x)=2mx+m2+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围

f(x)=2mx+m²+2,m≠0,m∈R,x∈R,若|x1|+|x2|=1,则f(x1)/f(x2)的取值范围是

Answer 1

追问

方法不错，自己想的，还是老师讲的？

追答

整理错题本的时候，又看到这一题，突然发现了很有趣的东西，不敢独享，哈哈哈（截图的话不清楚，就上传了个附件）

Answer 2

不妨以|x1|+|x2|=1的的取值极值分情况讨论：
1.x1=x2时，f(x1)/f(x2)=1
2.x1=1, x2=0时, f(x1)/f(x2)=(m2+2m+2)/(m2+2)=g(m)
g(m)=(m2+2+2m)/(m2+2)=1+2m/(m^2+2)=1+2/(m+2/m)
极值点在m=-V2,V2处，g(m)∈[1-V2/2,1+V2/2]
3.x1=0, x2=1时
g(m)=(m2+2)/(m2+2m+2)=1-2m/(m^2+2m+2)=1-2/(m+2+2/m)
极值点在m=-V2,V2处，g(m)∈[2-V2,2+V2]
...
综合以上结果，f(x1)/f(x2)取值范围为[1-V2/2,2+V2]
文库中有原题和填空答案，但没有过程。

追问

谢谢了，不过解法不具有一般性，
并不能确定，x1，x2取别的值时，g(m)的取值不超出区间【1-√2/2，2+√2】

Answer 3

f(x)是一次函数
m<0是减函数
m>0是增函数
当m>0
x1=0
x2=-1
f(x1)/f(x2)=(m^2+2)/(m^2-2m+2)=1+2m/(m^2-2m+2)=1+2/(m+2/m-2)
m+2/m>=2√2(m=√2取等）
m+2/m-2>=2√2-2
1+2/(m+2/m-2)<=2+√2（最大值）
x1=-1
x2=0
f(x1)/f(x2)=1-2/(m+2/m)>=1-√2/2（最小值）
当m<0
x1=1
x2=0
f(x1)/f(x2)=1+2/(m+2/m)=1-2/(-m-2/m)>=1-√2/2（最小值）
x=0
x2=1
f(x1)/f(x2)=1-2/(m+2/m+2)=1+2/(-m-2/m-2)<=2+√2（最大值）
综上无论m的正负，f(x1)/f(x2)取值范围
[1-√2/2,2+√2]

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Answer 4

[1-√2/2，2+√2]。

设g(x1,x2,m)=(2mx1+m²+2)/(2mx2+m²+2)，则g(-x1,-x2,-m)=g(x1,x2,m)。|x1|+|x2|=1在平面上相当于4根线段，拼成一个旋转45度的正方形，因此实质上我们只要考虑4根线段里面的位于x>=0半平面里的2根就行了，另外2根和这2根关于原点对称，值域完全相同。

分析下f(x)的符号就知道，因为|x1|+|x2|=1，所以|x|<=1，f(x)=1+(1-x²)+(m-x)²>=1>0，f(x)恒正。

看下x1+x2=1(0<=x1<=1)这段，则f(x1)+f(x2)=2m+2m²+4，故f(x1)/f(x2)=(f(x1)+f(x2))/f(x2)-1=(2m+2m²+4)/f(x2)-1。因为分母f(x2)恒正且关于x2单调，故f(x1)/f(x2)关于x2单调，无论是单调增还是单调减，值域只要看下端点(x1,x2)=(0,1)(1,0)的情况就可以了。

看下x1-x2=1(0<=x1<=1)这段，则f(x1)-f(x2)=2m，故f(x1)/f(x2)=(f(x1)-f(x2))/f(x2)+1=2m/f(x2)+1。因为分母f(x2)恒正且关于x2单调，故f(x1)/f(x2)关于x2单调，无论是单调增还是单调减，值域只要看下端点(x1,x2)=(0,-1)(1,0)的情况就可以了。

前面已经分析过了，4根线段只要考虑这2根就行，所以后面2根就不用分析了。因为g(0,1,-m)=g(0,-1,m)，所以(0,1)和(0,-1)的值域其实是一样的。所以3个端点里只要考虑(0,1)和(1,0)就行了，而且g(0,1,m)*g(1,0,m)=1，所以实际上只要看(0,1)就行了，(1,0)的值域直接求倒数就行了。

g(0,1,m)=(m²+2)/(2m+m²+2)=1-2m/(2m+m²+2)=1-2/(2+m+2/m)。

在m>=0的情况下，m+2/m>=2√2；在m<=0的情况下，m+2/m<=-2√2。
m>=0时，g(0,1,m)>=1-2(2+2√2)=2-√2；m<=0时，g(0,1,m)<=2+√2。

即g(0,1,m)的值域为[2-√2，2+√2]。
所以g(1,0,m)的值域（直接求倒数）为[1-√2/2，1+√2/2]。
两个值域一合并，就是最终结果[1-√2/2，2+√2]。

Answer 5

f(x1)/f(x2)的取值范围为：(-2|m|＋m^2＋2)/(m^2＋2)≦f(x1)/f(x2)≦(m^2＋2)/(-2|m|＋m^2＋2)，由于-2|m|＋m^2＋2=(|m|-1)^2＋1＞0、m^2＋2＞0，所以f(x1)/f(x2)＞0；另外f(x1)/f(x2)的取值范围只和m的绝对值有关，令△=(m^2＋2)/(-2|m|＋m^2＋2)-(-2|m|＋m^2＋2)/(m^2＋2)，则当|m|→＋∞或|m|→0时，△→0，f(x1)/f(x2)→1；当|m|=√2时，△取最大，此时1-√2/2≦f(x1)/f(x2)≦2＋√2。

Answer 6