Question

高中数学必修二题目

已知圆C:x²+y²+2x-4y+3=0
从圆C外一点P（x1,y1)向该圆引一条切线 切点为M，O为坐标原点 且PM=PO 求使得PM取最小值的点P的坐标 谢谢

Answer 1

解：

1）
圆C的方程的标准式为：

(x+1)²+(y-2)²=2
圆C的圆心为（-1,2），半径为：√2
|PC|²=|PM|²+|CM|²

|PC|²=(x1+1)²+(y1-2)²
根据切线性质，|CM|为圆C的半径，则：
|CM|=(√2)²=2，
|PM|²=(x1+1)²+(y1-2)² - 2
|PO|²=x1²+y1²
|PM|=|PO|
因此：
(x1+1)²+(y1-2)² - 2 = x1²+y1²

则：
2x1-4y1+3=0
又∵P为圆C外一点，则：
√(x1²+y1²) ＞ √2

令|PM|² = L，则：
L=(x1+1)²+(y1-2)² - 2
当|PM|有最小值时，|PM|²也有最小值，且满足：2x1-4y1+3=0
将2x1-4y1+3=0带入到L= (x1+1)²+(y1-2)² - 2 中，则：
L=(20x1²+12x1+9)/16
=[5(x1+0.3)²+(9/5)] / 4
显然当x1=-3/10时，L有最小值9/20，此时，
y1=6/10，即P（-3/10，6/10）
实际上，请楼主审视该题，P为圆C外一点，因此必须满足：
L>2,
可是算出来的值只有：9/20，P点已经到了圆的内部，不知道这样出题的目的是什么，但是显然该题是不严密的，这种题只知道思路即可，不可细究！

Answer 2

⊙C的方程为：(x+1)^2+(y-2)^2=2，故圆心C点坐标为（-1,2），圆半径为√2。设P点坐标为P（x,y）。在Rt△PCM中，|PM|^2=|PC|^2-|CM|^2=(x+1)^2+(y-2)^2-2 由|PM|=|PO|知，|PM|^2=|PO|^2即(x+1)^2+(y-2)^2-2 =x^2+y^2，化简得2x-4y+3=0，这就是P点的方程。所以|PM|最小即|PO|最小，也就是直线l：2x-4y+3=0与O点距离最小，那么PO⊥直线l时，|PO|最小，此时|PM|最小。直线l斜率为1/2，则PO斜率为-2，所以y=-2x2x-4y+3=0 ①y=-2x ②联立解得x=-3/10, y=3/5.综上，丨PM丨取得最小值的点P的坐标为（-3/10, 3/5）

Answer 3

先设P点坐标(x1,y1),由题可知，x1^2+y1^2=(x1+1)^2+(y1-2)^2
可得2x1-4y1+3=0,然后任意换元带入x1^2+y1^2中，在满足x，y的定义域中求最值即可

Answer 4

联立方程求解啊

1. 设过P点的直线

2. 与圆C联立。求△=0

3. 再求pm=po

    

Answer 5

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