Question

微积分凹凸性到底是怎么判断的？

中国的凹凸和国外教材上的凹凸不同吗？

mit视频教材里说向上弯曲为凸（convex），向下弯曲（bending down）为凹（concave）。所以我很纠结，不知哪位大神能解答一下，谢谢！！

Answer 1

可按如下方法准确说明：

1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）

2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）

设函数f(x)在区间I上定义，若对I中的任意两点x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称f为I上的凸函数。

若不等号严格成立，即“>”号成立，则称f(x)在I上是严格凸函数。如果">=“换成“<=”就是凹函数。类似也有严格凹函数。

扩展资料

凹函数的性质：

如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调上升的，也就是二阶导数若存在，则在此区间，二阶导数是大于零的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。）

如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。当中如果某点转变了图像的凹凸性，这就是一个拐点。

如果凹函数（也就是向上开口的）有一个“底”，在底的任意点就是它的极小值。如果凸函数有一个“顶点”，那么那个顶点就是函数的极大值。

如果f(x)是二次可微的，那么f(x)就是凹的当且仅当f''(x)是非正值。如果二阶导数是负值的话它就是严谨凹函数，但相反而言又不一定正确

参考资料来源：百度百科-函数的凹凸性

参考资料来源：百度百科-凹函数

Answer 2

如果F（x）在（a,b）上有连续的2阶导数，且f''(x)>0(或f''(x)<0)

则f(x)在（a,b）是凹的（或凸的），则f[(a+b)/2]<[f(a)+f(b)]/2, (或 f[(a+b)/2]>[f(a)+f(b)]/2)

在证明某些不等式时，如果等式两边出现f(a/2+b/2)和f(a)/2+f(b)/2时，可以考虑使用凹凸性证明，可以简化证明。

例如： 证明xlnx+ylny>(x+y)ln(x+y)/2 (x>0,y>0,x不等于y)
设f(x)=xlnx, f'(x)=lnx+1, f''(x)=(1/x)>0
根据凹凸定理，f[(a+b)/2]<[f(a)+f(b)]/2
即可得结论。

Answer 3

中国自己的教材都是不同的！复旦数学分析全是凹，有上凹和下凹！南开的好像全是凸，上凸和下凸。高等数学上面是正常的凹凸。还有与正常相反的凹凸，华东师范的是与高等数学相反的。
说了这么多，最简单的判别法，就是在区间上任取不同两点x1,x2，若有f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x2)]/2,为向上弯曲。

Answer 4

楼上太复杂了，简单点说，凸：中间部分向上的（凸很形象，看字就行），凹：中间部分向下的。
什么上凸下凸上凹下凹的看字面意思就行了，下凸（往下凸，中间向下），上凹（往上凹进去，中间向上）
不用我一一解释了吧

Answer 5

自己去翻翻绿皮的同济大学高等数学，在函数部分讲的很详细。凹凸性是相对而言的，说法是相对变化的，说实话，只要你理解了那些性质，其他的至于他怎么说都无关紧要