Question

直线l的方程:x-2y+3=0与椭圆C1:x^2/4+y^2/3=1相交于A(x1,y1),B(x2,y2),两点,P是抛物线C2：y^2=x上一点

求三角形ABP面积的最小值和P的坐标

Answer 1

将 x=2y-3 代入椭圆方程得 (2y-3)^2/4+y^2/3=1 ，
化简得 16y^2-36y+15=0 ，
因此 y1+y2=36/16=9/4 ，y1*y2=15/16 ，
所以 |AB|^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=5(y2-y1)^2=5*[(y1+y2)^2-4y1*y2]=5*[(9/4)^2-4*15/16]=105/16 ，
则 |AB|=(√105)/4 ，
设 P（y^2，y）是抛物线上任一点，则 P 到直线 AB 的距离为
d=|y^2-2y+3|/√5=[(y-1)^2+2]/√5 ，
由于 SABP=1/2*|AB|*d ，
所以，当 d 取最小值时，SABP 最小，
所以，当 y=1 即 P（1，1）时，SABP 最小，为 √21/4 。