Question

设0≤θ≤π/2,函数y=(1/sinθ-1)(1/cosθ-1),求函数的值域

Answer 1

∵0≦θ≦π/2，∴函数的定义域是（0，π/2），∴0≦θ/2≦π/4，∴sin（θ/2）、cos（θ/2）不等。
∴y
＝（1－sinθ）（1－cosθ）/（sinθcosθ）
＝［cos（θ/2）－sin（θ/2）］^2×2［sin（θ/2）］^2/［2sin（θ/2）cos（θ/2）cosθ］
＝sin（θ/2）［cos（θ/2）－sin（θ/2）］/｛cos（θ/2）［cos（θ/2）＋sin（θ/2）］
＝tan（θ/2）［1－tan（θ/2）］/［1＋tan（θ/2）］。

令tan（θ/2）＝x，则：
y＝x（1－x）/（1＋x），∴y＋yx＝x－x^2，∴x^2＋（y－1）x＋y＝0。
显然，x是实数，∴需要：（y－1）^2－4y≧0，∴y^2－6y≧－1，∴（y－3）^2≧8，
∴y－3≦－2√2，或y－3≧2√2，∴y≦3－2√2，或y≧3＋2√2。
∴函数的值域是（－∞，3－2√2］∪［3＋2√2，＋∞）。