Question

已知动圆P过定点A(-1,0),并且在定圆B:(x-1)^2+y^2=16的内部与其相内切

(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程
(2)过C的右焦点且斜率为k(k≠0)的直线l和C分别交于点M，N，线段MN的垂直平分线和x轴相交于点P(m，0），求实数m的取值范围。

Answer 1

(1)设 C(x, y), 半径r,
B(1, 0), 圆B的半径R = 4
CB = R - r = 4 - r
AC = r,
AC + CB = r + 4 - r = 4
此为以A, B(1, 0)为焦点的椭圆, c = 1, a = 2, b² = 4 - 1 = 3
圆心P的轨迹C(椭圆)的方程: x²/4 + y²/3 = 1

(2)直线l: y = k(x - 1)
x²/4 + k²(x - 1)²/3 = 1
(4k² + 3)x² - 8k²x + 4k² - 12 = 0
x₁ + x₂ = 8k²/(4k² + 3)
x₁x₂ = (4k² - 12)/(4k² + 3)
线段MN的中点Q(u, v)
u = (x₁ + x₂)/2 = 4k²/(4k² + 3)
v = (y₁ + y₂)/2 =(kx₁ -k + kx₂ -k)/2 = k(x₁ + x₂ - 2)/(4k² + 3) = -6k/(4k² + 3)
线段MN的垂直平分线斜率为-1/k
方程: y - v = (-1/k)(x - u)
令y = 0, x = m = u + kv
= 4k²/(4k² + 3) -6k²/(4k² + 3)
= -2k²/(4k² + 3)
= -2/(4 + 3/k²)
k趋近于正负无穷大时，m趋近于 -2/4 = -1/2
k趋近于0时，m趋近于0
-1/2 < m < 0

Answer 2

(1) x²/4+y²/3=1。

设B(1,0)，设圆P的半径为R，因为圆P和圆B（半径为4）相切，故PB=4-R，所以PA+PB=R+4-R=4，所以P的轨迹是个椭圆，焦点为A(-1,0)B(1,0)，故a=2，c=1，所以轨迹为x²/4+y²/3=1。

(2) [-√3/12，√3/12]。

直线为y=k(x-1)，代入x²/4+k²(x-1)²/3=1，得3x²+4k²(x-1)²-12=0，即(4k²+3)x²-8k²x+(4k²-12)=0。
由韦达定理，
(x1+x2)/2=4k²/(4k²+3)，(y1+y2)/2=k((x1+x2)/2-1)=-3k/(4k²+3)。
则MN的中点为(4k²/(4k²+3)，-3k/(4k²+3))。

MN中垂线的斜率为-1/k，则直线方程为 y+3k/(4k²+3)= -1/k (x-4k²/(4k²+3))。

找截距，取x=0代入方程，得m=k/(4k²+3)=1/(4k+3/k)。

k=0时，m=0。
k>0时，m<=1/2√(4k×3/k)=√3/12。
k<0时，m>=-√3/12。

所以m的范围是[-√3/12，√3/12]。