Question

已知函数f(x)=lnx+ax2+bx.若2a+b+1=0,讨论函数的单调性题目如图示，寻数学高手!!!万分感谢！！！

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Answer 1

Answer 2

（2）导数=（2ax^2+bx+1)/x (x>0)
令g(x)=2ax^2+bx+1
显然 g(0)=1且g(-b/2a)=1
因为对称轴的点只能有一个
所以-b/2a=0 即b=0 ,解得a=-1/2
即g(x)=-x^2+1在（0，正无穷）递减
又g(1)=0
所以在（0，1]，g(x)>=0; 在(1,正无穷)，g(x)<0
所以f(x)在（0，1]上单调递增，在(1,正无穷)上单调递减

追问

对称轴的点只能有一个
这里我不太明白，能解释一下吗？

追答

当a不等于0时，这是二次函数，图像如图：

或者 故对称轴的点为极值，只有一个

补充：当a=0时，b=-1;g(x)=-x+1单调递减，同a不等于0的时候

综上，（0，1]上单调递增，（1，正无穷）单调递减

Answer 3

第二问，令导为零。两边同时乘以x有2ax²+bx+1=0(x＞0)且2a+b+1=0。所以，当且仅当x=1时成立。x＜1，导数怎样，递增递减；x=1，导数为零；x＞1，导数怎样、、、、然后你就会讨论导数的正负，讨论递增递减了。

第三个问：由数学归纳法。假设命题成立。令n=1，等式左=2＞ln(2)=等式右，成立。
令k=n，则有
2+3／2²+…+(k+1)／k²＞ln(k+1)(k∈N﹡)①
令k=k+1，则有
3／2²+…+(k+1)／k²+(k+2)／(k+1)²＞ln(k+2)②

等式左①-②=2-(k+2)／(k+1)²，因为k是自然数，所以等式左必然大于1

等式右①-②=ln(k+1)-ln(k+2)=ln[(k+1)／(k+2)]，因为k是自然数，所以等式右小于零。
等式左＞等式右

所以命题等式2+3／2²+…+(n+1)／n²＞ln(n+1)(n∈N﹡)成立。

追问

为什么 令k=k+1，则有
3／2²+…+(k+1)／k²+(k+2)／(k+1)²＞ln(k+2)②

3／2²前面的2呢？

追答

不好意思，我写错了。你添上2以后仍按照数学归纳法证明即可证出。高中数学离我确实太遥远了，只能提供给你方法了。