Question

已知，如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC边上的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且BE=AF

求证：ED⊥FD

Answer 1

连接AD，
∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD为△ABC的角平分线。则AD⊥BC，∴∠DAF=45°=∠B，AD=BD=DC，
又∵BE=AF，∴△BED≌△ADF。∴∠BDE=∠ADF。
∵∠BDE+∠EDA=90°。∴∠EDA+∠ADF=90°。即ED⊥FD

Answer 2

连接AD
∵∠A=90°，AB=AC，BD=CD
∴∠DAF=∠EBD=45°，AD=BD
又∵AF=BE
∴ΔDAF≌Δ EBD
∴∠EDB=∠ADF
∵∠ADB=90º
∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠ADE+∠EDB=∠ADB=90º
即ED⊥FD

Answer 3

连接AD
在Rt△ABC中
∵AB=AC
∴△ABC是等腰Rt△
∴∠B=45°
∵AD是斜边BC的中线
∴AD=1/2BC=BD=CD
AD平分∠BAC，AD⊥BC (三线合一)
即：∠DAC=1/2∠C=45°
在△BED和△AFD中
∵BD=AD，∠B=∠C=45°，BE=AF
∴△BED≌△AFD(SAS)
∴∠EDB=∠FDA
又∵AD⊥BC
即：∠EDB＋∠ADE=90°
∴∠FDA＋∠ADE=90°
即：ED⊥FD