Question

如图，在三棱柱△ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知BC=1，BB1=2，∠BCC1=π /3

（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；
（Ⅱ）试在棱CC1（不包含端点C，C1上确定一点E的位置，使得EA⊥EB1（要求说明理由）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若AB=√ 2，求二面角A-EB1-A1的平面角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）
∵ABC-A1B1C1是三棱柱
∴CC1=BB1=2
∵BC=1，∠BCC1=π /3
∴BC1=√3
∴BC²+BB²1=CC²1
∴C1B⊥BC
∵AB⊥侧面BB1C1C,C1B在侧面BB1C1C内
∴C1B⊥AB
∵BC∩AB=B
∴C1B⊥平面ABC
（Ⅱ）
取CC1中点为E,BB1中点F, 连接EB1,EB
∴EF=BC=1/2BB1=1
∴BE⊥EB1
∵AB⊥侧面BB1C1C
∴EB是EA在侧面BB1C1C内的射影
根据三垂线定理
得EA⊥EB1
（Ⅲ）
∵A1B1//AB
∴A1B1⊥侧面BB1C1C
∴A1B1⊥EB1,且EB1在面A1EB1内
∵EA⊥EB1,EA在面AEB1内
即A1B1,AE分别在两个半平面内，均和棱EB1垂直
∴异面直线A1B1与AE的夹角EAB等于
二面角A-EB1-A1的平面角的大小
∵AB=√ 2，EB=1,
∴tan∠EAB=BE/AB=1/√2=√2/2
即二面角A-EB1-A1的平面角的正切值为√2/2

第三问的方法，本人从来没用过，但没有问题的