Question

已知椭圆x^2/4+y^2=1,设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A、B且三角形AOB面积的最小值，

并求直线l的方程。
感谢各位大神的帮助啊~

Answer 1

是求最大值吧？？直线垂直于 x 轴时最小值为 0 啊。

设直线方程为 y=kx+2 ，代入椭圆方程得 x^2/4+(kx+2)^2=1 ，
化简得 (4k^2+1)x^2+16kx+12=0 ，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2= -16k/(4k^2+1) ，x1*x2=12/(4k^2+1) ，
所以 |x2-x1|^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=256k^2/(4k^2+1)^2-48/(4k^2+1)=(64k^2-48)/(4k^2+1)^2 ，
因此 SAOB=|SAOM-SBOM|=1/2*|OM|*|x2-x1|=|x2-x1|=√[(64k^2-48)/(4k^2+1)^2] ，
记 s=(SAOB)^2 ，t=k^2 ，
则 s=|x2-x1|^2=(64t-48)/(4t+1)^2 ，
化简得 16st^2+(8s-64)t+(s+48)=0 ，
判别式=(8s-64)^2-4*16s*(s+48)>=0 ，
解得 ;lakshwj45oiy409

追问

"解得 ;lakshwj45oiy409 ”
是什么意思？！

追答

对不起有点事。接上面：

解得 s<=1 ，
所以 SAOB 最大值为 1 ，
此时 k=±√7/2 ，因此直线方程为 y= ±√7/2*x+2 。

Answer 2

解：设过M（0,2）的直线为：y=kx+b
∴b=2
∴直线为：y=kx+2
又直线与椭圆相交
∴x^2/4+(kx+2)^2=1
整理得：（4k^2+1)x^2+16kx+12=0
∴△=b^2-4ac
=256k^2-4*12(4k^2+1)
=64k^2-48
=8(k^2-6)
∴k≤-√6，k≥√6