Question

已知：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0），顶点c（1，-4），与x轴交于A、B两点，A（-1,0)

Answer 1

解：∵抛物线的顶点C为（1，-4）
∴抛物线的对称轴为x=1；
又抛物线在x轴有一交点A(-1，0)，
∴抛物线在x轴的另一交点B为（3，0）；
设抛物线为：y=ax^2+bx+c
将A、B、C三点代入抛物线方程并解之得：
a=1,b=-2,c=-3
∴抛物线的解析式为：y=x^2-2x-3
又∵∠AEB是直径所对圆周角
∴AE⊥BE
又∵QF⊥AE
∴△AEB∽△AFQ
∴QF／BE＝AQ／AB
同理，AD⊥BD
又QG⊥BD
∴△BGQ∽△BDA
∴GQ／AD＝BQ／AB
∴QF／BE＋GQ／AD＝AQ／AB＋BQ／AB
　　　　　　　　　　　　＝（AQ＋BQ）／AB

又AB＝AQ＋QB，

∴QF／BE＋GQ／AD＝1
∴QF／BE与GQ／AD的和为定值且等于1；
当Q点在抛物线对称轴上时，AQ＝BQ，EM＝EN
此时AQ／BQ＝EM／EN＝1
除此外，无条件证明AQ／BQ＝EM／EN