高等数学线性代数问题
设n阶实对称矩阵A，满足A^3+A^2+A=3E，证明A是正定矩阵。我是这样想的：λ^3+λ^2+λ=3,λ的三个解，就是A的特征值，如果他们都大于0就行了，可是想想又不...
设n阶实对称矩阵A，满足A^3+A^2+A=3E，证明A是正定矩阵。
我是这样想的：λ^3+λ^2+λ=3,λ的三个解，就是A的特征值，如果他们都大于0就行了，可是想想又不对啊，这样的话A只有3个特征值了，而A是n阶的，这样对不上啊
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我是这样想的：λ^3+λ^2+λ=3,λ的三个解，就是A的特征值，如果他们都大于0就行了，可是想想又不对啊，这样的话A只有3个特征值了，而A是n阶的，这样对不上啊
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3个回答
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证明: 因为 A^3+A^2+A=3E
所以A的特征值λ满足 λ^3+λ^2+λ-3=0
所以 (λ-1)(λ^2+2λ+3)=0
又因为A是实对称矩阵, 实对称矩阵的特征值都是实数
所以λ=1
即A的特征值为1,1,...,1
故A是正定矩阵.
所以A的特征值λ满足 λ^3+λ^2+λ-3=0
所以 (λ-1)(λ^2+2λ+3)=0
又因为A是实对称矩阵, 实对称矩阵的特征值都是实数
所以λ=1
即A的特征值为1,1,...,1
故A是正定矩阵.
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n阶里面应该有重复的根 所以并不一定是3阶 还得看重根 不过无所谓 因为一共就这三种答案 都大于〇就行
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有重根，3个λ值，但特征值可以重复的
追问
不会吧，真的是这样做的？那请问这个三次方程怎么解呢？这道题怎么写呢？
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