Question

广义积分的敛散性

不是说发散加发散可以收敛吗？比如x和-x，在x趋近于正无穷时。但是书上关于广义积分那一节，积分上限为正无穷，下限为负无穷，拆成一个上限为正无穷，下限为c和上限为c，下限为负无穷两个广义积分之和。然后特别说明只有后两者都收敛，之前那个广义积分才收敛，只要有一个发散，那之前那个广义积分就发散。那发散+发散=收敛不是也可以吗？还有上下限为a，b，中间含了一个瑕（奇）点c，拆成上下限a，c和c，b之和，也是要求后两者都收敛，前者才收敛。这到底是怎么回事？求高手解释。

Answer 1

之所以要要2个都收敛，是因为那2个极限里面的趋近过程是独立的。
比如∫(-1→1)dx/x，这个转化为∫(-1→0)dx/x+∫(0→1)dx/x，也就是lim(a→0-)∫(-1→a)dx/x+lim(b→0+)∫(b→1)dx/x。这里a和b是独立的，没有a+b=0这种美好的关系。这样，a比b趋近得慢一些就会使得出的值不等于那个理想的0，也就是说没有极限。

追问

说的有一定道理。那么发散+发散=收敛应该怎么理解？或者说该如何区分发散+发散是否收敛？
还有就上面你举的那个例子，从定积分的几何意义上来讲，由对称性在(-1→1)上面积应该相等，而符号刚好相反，定积分应该=0，这又该如何解释？

追答

你所谓的发散+发散=收敛其实是由于趋近的过程中自变量是有某种关系的，比如lim(x→+∞)x+(-x)其实是lim(a→+∞)a+lim(b→+∞)(-b)这个极限里面有a=b这个关系。
至于你说的对称性，那个定积分有专门的名称，叫主值意义下的定积分。在这里是规定了趋近时的关系的。

Answer 2