Question

已知函数f(x)=sinxcosΦ+cosxsinΦ(其中x∈R，0<Φ<π)，且函数y=f(2x+π/4)的图像关于x=π/6对称

若f(a-2π/3）=根号2/4，求sin2a的值

Answer 1

f(x)=sinxcosΦ+cosxsinΦ
=sin(x+Φ)
(其中x∈R，0<Φ<π)，
f(2x+π/4)=sin(2x+π/4+Φ)
函数y=f(2x+π/4)的图像关于x=π/6对称
2*π/6+π/4+Φ=kπ+π/2 （k∈Z）
得Φ=kπ-π/12 （k∈Z）
由0<Φ<π得k=1，Φ=11π/12
∴f(x)=sin(x+11π/12)
若f(a-2π/3）=根号2/4，有
sin(a-2π/3+11π/12)=sin(a+π/4）=根号2/2*（sina+cosa）=根号2/4
∴sina+cosa=1/2
两侧平方得sin²a+2sinacosa+cos²a=1/4
∴sin2a=2sinacosa=1/4-1=-3/4

Answer 2

f(x)=sinxcosΦ+cosxsinΦ=sin(x+Φ)
函数y=f(2x+π/4)=sin(2x+π/4+Φ)图像关于x=π/6对称
∴x=π/6时，
2×π/6+π/4+Φ=kπ+π/2,k∈Z
∴Φ=kπ-π/12,k∈Z
∵0<Φ<π
∴当k=1时，Φ=11π/12
∴f(x)=sin(x+11π/12)
∵f(a-2π/3）=√2/4
∴f(a-2π/3）=sin(a-2π/3+11π/12)
=sin(a+π/4)=√2/2(sina+cosa)=√2/4
∴sina+cosa=12
两边平方得：
1+2sinacosa=1/4
∴sin2a=-3/4