Question

在△ABC中,已知（a²+b²）sin（A-B）=（a²-b²）sin（A+B）,则△ABC的形状是

Answer 1

解：
(a²+b²)sin(A-B)=(a²-b²)sin(A+B)
a²[sin(A+B)-sin(A-B)]=b²[sin(A+B)+sin(A-B)]
2a²cosAsinB=2b²sinAcosB 运用和差化积公式
2sin²AcosAsinB=2sin²BsinAcosB 运用正弦定理
sinA、sinB均为正，要等式成立，cosA、cosB同号，又三角形中至多仅有一个钝角，因此A、B均为锐角。
2sinAcosA=2sinBcosB
sin(2A)=sin(2B)
2A=2B
A=B
三角形是等腰三角形。

追问

一个告诉我是等腰，一个告诉我是直角，到底是什么啊

追答

一定推不出直角三角形的，他的回答是错的。首先从我的推导过程可知，三角形一定是等腰三角形，代回去验证：
A=B，则sin(A-B)=sin0=0，且由正弦定理得a=b，a²=b²
等式左边=(a²+b²)×0=0
等式右边=0×sin(A+B)=0
等式左边=等式右边，可见，只要是等腰三角形，等式就成立。验证完毕。
特殊情况：只有当A=B=45°时，三角形才是直角三角形，而且是等腰直角三角形，这个是等式成立的特殊情况，不是一般情况。
因此只能推出是等腰三角形，推不出直角三角形的。

Answer 2

三角形ABC的形状是直角三角形,证明如下:
∵a/simA=b/sinB=2R,
a=sinA*2R,b=sinB*2R,
(a^2+b^2)sin(A-B)=(a^2-b^2)sin(A+B),
等式右边有:
(a^2-b^2)sin(A+B)=sin(A+B)*(a+b)(a-b)
=sin(A+B)*[(sinA+sinB)(sinA-sinB)]*(2R)^2
=sin(A+B)*{2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]*2cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}*(2R)^2
=sin(A+B)*sin(A+B)*sin(A-B)*(2R)^2
左边的sin(A-B)跟右边的sin(A-B)约后有
(a^2+b^2)=[sin(A+B)]^2*(2R)^2,
而,A+B=180-C,
sin(A+B)=sinC,sinC=c/2R,则有
(a^2+b^2)=[sin(A+B)]^2*(2R)^2=(sinC)^2*(2R)^2=(c/2R)^2*(2R)^2=c^2.
即a^2+b^2=c^2.
三角形ABC的形状为直角三角形.

追问

一个告诉我是等腰，一个告诉我是直角，到底是什么啊