Question

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连

如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G．
（1）求证：AE•FD=AF•EC；
（2）求证：FC=FB；
（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长．
复制的不要

Answer 1

(1)点F是BD中点;∵CH⊥AB,DB⊥AB,
∴AEH∽AFB,ACE∽ADF
∵HE=EC,
∴BF=FD′
(2)CG是⊙O的切线;
方法一:连接CB、OC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°
∵F是BD中点,
∴∠BCF=∠CBF
=90°-∠CBA
=∠CAB
=∠ACO
∴∠OCF=90°,
∴CG是⊙O的切线
方法二:可证明OCF≌OBF···
(您自己一定能做出来···)
(3)由FC=FB=FE得:
∠FCE=∠FEC
可证得:FA=FG,且AB=BG
由切割线定理得:
(2+FG)2=BGxAG=2BG
∴⊙O半径2

追问

第二小题为什么∠BCF=∠CBF？怎么证

追答

因为CG是⊙O的切线;
连接CB、OC,
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°，CB⊥AD
且CO=OB
则∠OCB=∠OBC=∠D
则易得∠BCF=∠CBF
或者有F为圆外一点
切于圆O与B、C
则FB=FC
则易得∠BCF=∠CBF
这是基本定理，您想想看。