Question

已知数列a1=1/2,sn=n^2*an(n≥1)，设b1=0，bn=Sn-1/Sn（n≥2），求证Tn<n^2/n+1

Tn为数列{bn}的前n项和

Answer 1

Sn是数列{an}的前n项和吧?
则 an=Sn-S(n-1)=n^2*an-(n-1)^2*a(n-1)
得 a(n-1)/an=(n+1)/行祥源(n-1)
故 bn=S(n-1)/sn=(n-1)^2*a(n-1)/(n^2*an)
=(n-1)(n+1)/n^2=(n^2-1)/n^2 （n≥2）
因此
T2=b1+b2=3/4 < 2^2/(2+1)=4/3
假设，当 n=k 时 ，Tn<n^2/(n+1) 成立，即 Tk < k^2/(k+1)
那么，当 n=k+1 时
T(k+1)=Tk+b(k+1)
<k^2/(k+1)+(k^2+2k)/(k+1)^2
=(k^3+2K^2+2k)/(k^2+2k+1)
=k(k^2+2k+1)/(k^2+2k+1)+k/(k^2+2k+1)
<k+k/(k^2+2k)=k+1/(k+2)
=(k+1)^2/(k+2)
即当宴御n=k+1 时，Tn<n^2/(n+1) 成立
根据归纳法，Tn<n^2/档态(n+1) , n=1,2,… 成立。
证毕