Question

高中数学17题

Answer 1

|（2x²-x-2）-a|+|（2x²-x-2）+a|=2a
（2x²-x-2）=0时，上式恒成立，
x=（1±√（1+16））/4，无理数。
现在，x只有两个整数解，显然不是上面的值。
设z=（2x²-x-2）
|z-a|+|z+a|=2a；
平方：
2z²+2a²+2|z²-a²|=4a²
|z²-a²|=a²-z²；
a²<z²，无解；
a²≥z²，恒等。
∴z²≤a²；
|z|≤a；
-a≤2x²-x-2≤a
2x²-x-2+a≥0，且2x²-x-2-a≤0；
前式的根：x=（1±√（1-8（-2+a）））/4=（1±√（17-8a））/4
后式的根：x=（1±√（1-8（-2-a）））/4=（1±√（17+8a））/4
（1）17≤8a,a≥17/8，前式恒成立，

（1-√（17+8a））/4≤x≤（1+√（17+8a））/4,
8a≥17,17+8a≥34，（1-√（17+8a））/4≤（1-√34）/4=-1.21；
（1+√（17+8a））/4≥（1+√34）/4=1.708；
至少有3个解，（-1,0,1），不合题意。
（2）0<a≤17/8=2.125，
前式：（x≤（1-√（17-8a））/4）Ux（≥（1+√（17-8a））/4）
后式：（1-√（17+8a））/4≤x≤（1+√（17+8a））/4
合并：[（1-√（17+8a））/4≤x（1-√（17-8a））/4]U[（1+√（17-8a））/4≤x≤（1+√（17+8a））/4]
关于0对称，每边有且仅有一个整数解。
（1+√（17-8a））/4≤（1+√（17+8a））/4，a>0恒成立；
（1+√（17-8a））/4+1≥（1+√（17+8a））/4
1+√（17-8a）+4≥1+√（17+8a）
4+√（17-8a）≥√（17+8a）
平方：
16+8√（17-8a）+17-8a≥17+8a
√（17-8a）≥2a-2
a≤1，上式恒成立；
a>1：
17-8a≥4a²-8a+4
4a²≤13，
a≤√13/2=1.803，
∴0<a≤√13/2；