Question

一道几何数学题

如图，已知：∠BDA=∠ABC=∠ADC=45°，求证：△ABC为等腰直角三角形。

（注：题目没写错，的确是证明出一个等腰直角三角形。另外呢，这得用初二上学期的知识。简单地说，就是只有全等、平行和代换。希望你的答案可以让我茅塞顿开喔！）

Answer 1

设AD、BC交点E；
∵△EAB∽△EDC(∠ABE＝∠CDE＝45º，对顶角相等)，AE∶EB＝CE∶DE（相似比）；
则△EBD∽△EAC（已证对应边成比例，且夹角／对顶角相等），∠ACE＝∠BDE＝45º；
∴∠BAC＝180º－45º－45º＝90º，AB＝AC（对角均为45º），
∴△ABC为等腰直角三角形。
另也可用四点共圆来证。

追问

能不用相似吗？或者说，可不可以证明一下你在证明中用的有关相似三角形的定理公理？

追答

用四点共圆也可证明的。
相似三角形判定定理1：平行于△一边的直线和其他两边相交所构成的△与原△相似。
定理2：两角对应相等两个△相似。
定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个△相似。
“定理”是已被先人所力证，信手拈来即用。正如“地球是圆的”不用亲自证明才可信可用。

Answer 2

不用辅助线，很简单，等我写完
设BC与AD交于O
三角形内角和是180度
𠃋A0C=𠃋BA0十𠃋ABO
𠃋AOC=BOD对顶角
𠃋BOD=𠃋ADC十𠃋BCD
𠃋BA0十𠃋ABO=𠃋ADC十𠃋BCD

因为∠ABC=∠ADC=45°，所以𠃋BA0=𠃋BCD

同理𠃋DAC=𠃋DBC
三角形BDC是直角三角形，D是直角，所以𠃋DBC十𠃋BCD=90度
𠃋BAC也是90度
得证三角形ABC是等腰直角三角形

Answer 3

解：（如图）
∵∠BDA=∠ADC=45°
∴∠BDC＝∠BDA＋∠ADC＝90°
∵∠ABC=∠ADC=45°
∴A、B、D、C四点共圆（在线段同侧张有两个相等的角，那么这两个角的顶点和线段的两个端点在同一个圆上）
∴∠BAC＋∠BDC＝180°（圆的内接四边形对角互补）
∴∠BAC＝90°
又∠ABC＝45°
∴∠ACB＝45°
故：△ABC为等腰直角三角形（两底角为45°的直角三角形是等腰直角三角形）

Answer 4

这要用到圆的知识
作△ABC的外接圆，则ABC在圆上
∠ADC=∠ABC
则两个角都是弦AC所对的圆周角
即：D也在外接圆上
则∠BDA=∠BCA=45°
由于∠BCA=∠ABC=45°
所以∠BAC=90°
即：△ABC为等腰直角三角形

Answer 5

设AD与BC的交点为点O,角AOB=角COD,角ODC=角BOA=45',所以三角形AOB与三角形COD相似，

即AO:CO=BO:DO,所以BO:AO=DO:CO,又因为角BOD=角AOC,所以三角形BOD与三角形AOC相似，所以角BDA=角ACB=45',所以三角形ABC为等腰直角三角形，不知道你们相似学了没，希望能帮到你咯！

Answer 6

易知，当∠BAE＝∠DAF时，
△BAE≌△DAF
∴BE＝DF
满足条件的△AEF有两个：
⑴当∠BAE＋∠EAF＋∠DAF＝90°时
此时∠BAE＝∠DAF＝15°
⑵当∠BAF＋∠EAF＋∠DAE＋∠BAD＝360°时
∴∠BAF＋∠EAF＋∠DAE＋∠EAF＋∠BAD＝360°＋∠EAF
∴∠BAE＋∠DAF＋90°＝360°＋60°
∴∠BAE＝∠DAF＝165°