Question

【数学】已知：(b-c)²=(c-a)²=(a-b)²，求证a=b=c

【题目较多，视情况会提高悬赏】
1.已知：(b-c)²=(c-a)²=(a-b)²，求证a=b=c
2.设E、F分别是平行四边形ABCD的边AB和BC的中点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ//PC。 求：梯形APCQ/平行四边形ABCD的面积=？（图见下）
3.已知a，b，c均不为0且满足ab²=c/a-b。求证a²b²/c²+1/c²+1/a²b²+2ab/c²-4/c+2/ab-2/abc-2ab/c=0

【—————————————第②题图——————————————————】
泥煤最讨厌画图了，图真心难画啊~~~~~~~~~~~ 冉冉

Answer 1

(b-c)²=(c-a)²=(a-b)²那说明，b-c,c-a,a-b三个值，不是相等的就是只差一个负号的，另外根据抽屉原理，b-c,c-a,a-b三个值里面总有两个值是相等的。

如果b-c,c-a,a-b这3个够同正负号，假设都为正，那有b>=c>=a>=b，于是只能a=b=c,3个都为负同理。
剩下只剩2个同号一个不同正号的情况。

如果不同号，那根据不同情况b-c=-(c-a) b-c=-(a-b) c-a=-(a-b)至少成立一个(就是两个值)，
b-c=-(c-a) ==>b=a b-c=-(a-b) ==>a=c c-a=-(a-b) ==>b=c，
那说明，至少有2个数是相等的，于是(b-c)²=(c-a)²=(a-b)²＝0，==>a,b,c三个值只能都相等。

第三题，ab²=c/a-b就是c=a²b²+ab，然后你把要证明的那个式子左边乘以a²b²c²，就是a^4b^4+a^2b^2+c^2+2a^3b^3-4a^2b^2c+2abc^2-2abc-2a^3b^3c，把c=a²b²+ab代入，你会发现所有的项全部消完了，＝0...又因为a,b,c都不为0，所以＝0不是因为左边乘以a²b²c²造成的，证明完毕

Answer 2

 

 

 

 

 

 

Answer 3

(b-c)^2=(c-a)^2
(b-c)^2-(c-a)^2=0
(b-c+c-a)(b-c-c+a)=0
(b-a)(b+c-2c)=0
b-a=0或b+a-2c=0

若b-a=0
b=a
则(b-a)^2=0
所以(c-a)^2=(a-b)^2=0
c-a=0
c=a
所以a=b=c

若b+a-2c=0
b=2c-a
代入(c-a)^2=(a-b)^2
(c-a)^2=(2a-2c)^2
(c-a)^2-(2a-2c)^2=0
(c-a+2a-2c)(c-a-2a+2c)=0
(a-c)(3c-3a)=0
3(a-c)^2=0
a-c=0
a=c
b=2c-a=2a-a=a
所以a=b=c
综上
a=b=c

哇塞，第二三题太难了，看题都看晕了，我给你解了第一题就够辛苦了，你看看吧

Answer 4

1、假设a>b>c
则有b-c=a-c=a-b →
① b-c=a-c → b=a
② a-c=a-b →c=b
所以a=b=c
3、ab²=c/a-b 变换为 b(ab+1)=c/a →ab+1=c/ab
a²b²/c²+1/c²+1/a²b²+2ab/c²
=[(ab+1)/c]²=(1/ab)²
先这样 下午继续。。。