Question

运用拉格朗日中值定理证明

急，谢谢了

Answer 1

拉格朗日中值定理是考研数学复习的重点，经常出现在证明题中，是考研数学的重点和难点。2009年的考研数学(包括数一、数二、数三)真题中的一道证明题中的第一问甚至要求证明该定理。下面文都考研数学教研老师结合该真题，给出该定理的三种证明思路，希望能帮助同学们掌握和利用该定理。

首先，我们一起看一下该定理：

(拉格朗日中值定理)

然后，我们一起学习三种具体的证明方法：

1、原函数构造法

下面给出具体的证明过程：

2、作差构造函数法

该法也主要利用罗尔定理证明，只是函数构造方法与1有所不同，下面给出具体的证明过程：

2018考研数学:拉格朗日中值定理的三种证明方法

3、行列式法

考研数学复习

上述三种方法都是基于罗尔定理证明的，主要是构造出一个满足罗尔定理的函数。拉格朗日中值定理的证明方法，同学们务必要牢牢掌握至少一种。另外，同学们在做与拉格朗日中值定理相关的证明题时，可以借鉴上述三种方法来构造函数。从拉格朗日中值定理的证明方法中，我们也会发现数学的方法多种多样，不拘泥于一种形式。所以，在平时的做题过程中，同学们要灵活多变，注意选用适合的方法解决题目。

Answer 2

考察函数 f(x)＝e^x，
当 x＞0 时，函数在 [0，x] 上满足拉格朗日中值定理，因此存在 ξ∈(0，x) 使
f'(ξ)＝[f(x) - f(0)] / (x - 0)，
也即 e^ξ ＝ (e^x - 1) / x，
由于 e^ξ＞e^0＝1，
所以 (e^x - 1) / x＞1，因此 e^x＞1＋x；
当 x＜0 时，用 [x，0] 上的拉格朗日中值定理，同理可得 e^x＞1＋x。