Question

高中数学必修2的一道关于圆的题

已知以点C（t，2/t）（t属于R，t≠0）为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点。
(1)求证：△OAB的面积为定值；
（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N,若OM=ON,求圆C的方程。

重点是第二问的过程，谢谢。

Answer 1

（1）
∵圆C过原点O，∴OC²=t²+ 4/t²，
则圆C的方程为 (x-t)²+(y-2/t)²=t²+4/t²
令x=0，得y=0，或y= 4/t
令y=0，得x=0，或x=2t
所以，A点坐标为（2t，0），B点坐标为（0， 4/t），
∴S△OAB= OA×OB×1/2= |4/t|×|2t|×1/2=4
即，△OAB的面积为定值4
（2）
∵|OM|=|ON|，|CM|=|CN|
∴OC垂直平分线段MN．
∵直线y的斜率=线段MN的斜率=-2
∴线段OC所在直线的斜率= 1/2
∵点C坐标为（t，2/t）
∴ (2/t)/t=1/2，即 t²=4
解得 t=2，或t=-2
当t=2时，
圆心C的坐标为（2，1），半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|-4-1+4|/ √5=(√5)/5＜√5
即，圆C与直线y=-2x+4相交于两点．符合题意
当t=-2时，
圆心C的坐标为（-2，-1），半径OC=√5
此时圆心到直线y=-2x+4的距离
d=|4+1+4|/√5=(9√5)/5＞√5
即，圆C与直线y=-2x+4不相交
∴ t=-2不合题意，舍去．
∴ 圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=5

Answer 2

给个图好吗...