Question

高三数学证明题

请证明你的结论。
经验算：当n=20000000时，前n项和等于1.999998327*10^7，依然不满足要求。

Answer 1

先考察函数f(x)= e^x 图形

再根据积分的定义，先看下e^X在（－无穷，0）的积分，也就是面积看一下。

(这里不好画图，柱状图。 曲线下方的面积大于所有长方形的面积和)

 

当n增大时，左边近似为 图形的面积A ＝ e^0- 0 = e

左式< A =e

 

所以当 e < n - 2011时 即 n> 2011 + 2.718 时 就满足上述不等式。

Answer 2

当然存在，用级数非常好证明。

式子相当于：是否存在n，满足

Σ(1-e^(-1/k))=Σg(k)>2011，k从1到n求和，其中设函数g(k)=1-e^(-1/k)，容易看出g(k)递减，但是恒大于0。

因为g(k)=1-e^(-1/k)在k很大之后相当于1/k，大家都知道1/k级数求和是发散的，就是无穷大。所以这样的n一定存在，这个结论一定不会错。

一个初等数学证明的思路是：

假设 g(k)=1-e^(-1/k)>A/k，其中A是个常数。

则 g(2k)=1-e^(-1/(2k))=(1-e^(-1/k)))/(1+e^(-1/(2k)) (因为1+e^(-1/(2k)<2)
>(1-e^(-1/k))/2
>(A/k)/2=A/(2k)。

这样就可以数学归纳下去，即可得到g(4k)>A/(4k)，g(8k)>A/(8k)。。。

取随便一个数0<A<(1-e^(-1/2))×2，则g(2)>A/2，因此由上面的数学归纳，g(2)>A/2，g(4)>A/4，g(8)>A/8，g(16)>A/16，。。。

k从2到2，Σg(k)=Σg(2)=1×A/2=A/2
k从3到4，Σg(k)>Σg(4)=2×A/4=A/2

k从5到8，Σg(k)>Σg(8)=4×A/8=A/2
k从9到16，Σg(k)>Σg(16)=8×A/16=A/2

。。。

这样下去，求和一定是无穷大的，也就是说，求和超过2011一定没有问题。

你可以算一下，取A=(1-e^(-1/2))×2=0.7869，大概n=2^(5157)就是一定没问题了（我指级数求和超过2011，5157是这么得到的：5157~=2011/(0.7869/2)）。

Answer 3

f(-1)+f(-1/2)+...+f(-1/n)=1/e+1/e^(1/2)+...+1/e^(1/n)<[1/e+1/e^(1/n)]n/2<(1/e+1)n/2<n-2011
n>2*2011/(1-1/e)=4022e/(e-1)
取N=4022e/(e-1)得整数部分，则n>=N+1时，不等式恒成立

追问

1/e+1/e^(1/2)+...+1/e^(1/n)<[1/e+1/e^(1/n)]n/2，这步的依据什么？

Answer 4

问班里的同学来的更快吧……

Answer 5

亲
用数学归纳法吧