Question

概率论 设随机变量X~N(μ,σ^2),求E (x-μ)六次方

Answer 1

分享一种解法。∵X~N(μ,σ²)，∴X的密度函数f(x)=Ae^[-(x-μ)²/(2σ²)]，其中A=1/[σ√(2π)]，x∈R。
E[(x-μ)^6]=∫(-∞,∞)[(x-μ)^6]f(x)dx=A∫(-∞,∞)[(x-μ)^6]e^[-(x-μ)²/(2σ²)dx。令x-μ=σt，
∴E[(x-μ)^6]=(σ^7)∫(-∞,∞)(t^6)e^(-t²/2)dt=2(σ^7)∫(0,∞)(t^6)e^(-t²/2)dt。
再令t=√(2y)、利用伽马函数【Γ(α)=∫(0,∞)[x^(α-1)]e^(-x)dx，α>0时收敛】及其性质，
∴E[(x-μ)^6]=A[2^(7/2)(σ^7)Γ(7/2)。而，Γ(7/2)=(5/2)(3/2)(1/2)√π，
∴E[(x-μ)^6]=15(σ^6)。
供参考。