Question

已知函数f(x)=2x+1/2x-1.（1）证明:函数f(x)在区间(1/2,正无穷大)上单调递减；

（2）若对于区间（1,10）上每一个x值，不等式f(x)>lgx+m恒成立，求m的取值范围。

Answer 1

（1）变形函数式f(x)=[(2x-1)+2]/(2x-1)=1+2/(2x-1)
令1/2<x1<x2
则f(x2)-f(x1)=2/(2x2-1)-2/(2x1-1)=4(x1-x2)/[(2x2-1)(2x1-1)]
因x1-x2<0
且2x1-1>0，2x2-1>0
则f(x2)-f(x1)<0
表明函数f(x)在区间(1/2，+∞)上单调递减

（2）因不等式f(x)>lgx+m恒成立
即m<f(x)-lgx恒成立
令g(x)=f(x)-lgx=1+2/(2x-1)-lgx

注意到f(x)在区间(1/2，+∞)上单调递减
即有f(x)在区间(1,10)上为减函数
同时注意到函数y=lgx在区间(0，+∞)上单调递增
则函数y=-lgx在区间(0，+∞)上单调递减
于是函数y=-lgx在区间(1,10)上为减函数
由此易知g(x)在区间(1,10)上为减函数
（当然可以采用其它方法（如定义法，导数法等）来判断g(x)的单调性）
则有g(10)<g(x)<g(1)
易知g(10)=1+2/(2*10-1)-lg10=2/19，g(1)=1+2/(2*1-1)-lg1=3
即有2/19<g(x)<3

要使m<f(x)-lgx在区间(1,10)上恒成立
即要使m<g(x)在区间(1,10)上恒成立
必有m≤2/19
所以m的取值范围为(-∞，2/19]

Answer 2

1）f的（x）的= 1/x-2a ^ 2×+ =（-2a的^ 2×^ 2 +斧1）/ x的=（2AX 1）（-ax的+1）/ x <0时，是更少一些。
2条）a = 1，f的（x）的=（2×1）（-x +1的）/ x的<0
函数f（x）（1，正无穷大），减小
因此，最大的值f（1）= 0-1 +1 = 0
这样发生有一个零的f（x）

Answer 3

1）f的（x）的= 1/x-2a ^ 2×+ =（-2a的^ 2×^ 2 +斧1）/ x的=（2AX 1）（-ax的+1）/ x <0时，是更少一些。
2条）a = 1，f的（x）的=（2×1）（-x +1的）/ x的<0
函数f（x）（1，正无穷大），减小
因此，最大的值f（1）= 0-1 +1 = 0
恰巧有一个零的f（x）