Question

∑（n=1→∞）(（3^n+5^n)/n)x^n,这个幂级数的收敛区间

Answer 1

[－1/5，1/5)。

an=(3^n+5^n)/n，n次根号(an)=5*【(1+(3/5)^n)^(1/n)】/n^(1/n)，极限是5，因此收敛半径是1/5。
在x＝1/5时，级数通项为【(3/5)^n+1】/n>1/n，因此级数不收敛。

在x＝－1/5时，级数通项为【(3/5)^n+1】(－1)^n/n＝(－3/5)^n/n+(－1)^n/n，第一个绝对收敛，第二个用Leibniz判别法知道收敛，因此级数收敛。

故收敛区间为[－1/5，1/5)

收敛域具体的定义如下：

函数项级数  的所有收敛点的集合称为它的收敛域。

收敛半径：是一个非负的实数或无穷大，使得在  时幂级数收敛，在  时幂级数发散。（来源：百度百科）

从百度百科对收敛半径的定义来看，收敛半径这个说法是针对幂级数这个特殊对象来说的。（当然我不敢确定百度百科的说法是否严谨，这里姑且按这个定义来讨论）

幂级数中心点：这里我不知道有没有幂级数中心点这个定义，但是为了能够扩展阿贝尔定理的应用，我将幂级数中心点定义为：使指数为n的底为0的点称为幂级数中心点。

所以当在只得知收敛域，我们知道的仅仅是幂级数中心点，但得不到幂级数的收敛半径。

Answer 2

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Answer 3

[-1/5,1/5)

追问

能给个具体解题过程吗

追答

易求得收敛半径为1/5，下面只需要考虑端点-1/5和1/5。不难判断-1/5处收敛，1/5处发散。

追问

能不能发一下具体的收敛半径的解题步奏吗，谢谢

Answer 4

等于0，这么简单一看就知道