Question

证明2次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[-b/2a,+∞)上是增函数

Answer 1

证明：方法1、
f(x)=ax2+bx+c(a>0)
f`(x)=2ax+b
当x属于[-b/2a,+∞)时。则x>=-b/2a
由于a>0
所以2ax+b>=0
从而f`(x)=2ax+b>=0

方法2、用定义证
设x1>x2>=-b/2a
f(x1)-f(x2)
=a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)
=(x1-x2)(a(x1+x2)+b)
∵x1>x2>=-b/2a
∴x1-x2>0, x1+x2>-b/a
又a>0
a(x1+x2)+b>-b+b=0
∴(x1-x2)(a(x1+x2)+b)>0
即f(x1)-f(x2)>0,
所以2次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[-b/2a,+∞)上是增函数

Answer 2

设x1<x2<=－b／2a,
则
f(x2)-f(x1)
=a(x2^2-x1^2)+b(x2-x1)
=(x2-x1)(ax2+ax1+b)

因为x1<x2<=－b／2a,
x1+x2<2*(-b/2a)=-b/a
又a<0,
a(x1+x2)>-b
ax2+ax1+b>0
而x2-x1>0
所以:f(x2)-f(x1)>0
得证

Answer 3

设x1>x2>=-b/2a
f(x1)-f(x2)
=a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)
=(x1-x2)(a(x1+x2)+b)
∵x1>x2>=-b/2a
∴x1-x2>0, x1+x2>-b/a
a(x1+x2)+b>-b+b=0
∴(x1-x2)(a(x1+x2)+b)>0
即f(x1)-f(x2)>0,得证。