Question

线性代数 例5.32的答案中r1r2r3为什么线性相关？第三个特征值6是怎么得到的呢？

1、为什么r1,r2,r3必线性相关呢？一般情况不都是线性无关的吗？2、前面只求的了特征值一个是0一个是6，为什么这里写的是6,6,0？他怎么知道第三个特征值也是6的呢？谢谢回答

Answer 1

三阶矩阵A的秩为2，即行列式为0
那么就一定有一个特征值为0
而另外两个特征值不等于0
如果特征值为6
那么其最多对应2个线性无关的特征向量
现在r1，r2，r3都是6的特征向量
当然就是线性相关的
计算出来特征值0的特征向量只有一个
那么特征值6对应的特征向量当然是两个
即两个特征值为6

Answer 2

对B进行行变换，得到B的秩为2
说明B含有两个线性无关的列向量作为A的属于6的特征向量
说明6是二重根。还有一个特征根是0所以是6 6 0
之所以不用计算B矩阵就能得到他的三个列向量线性相关，是因为已知0是他的特征根，之少对应一个特征向量，则属于6的特征向量肯定不可以有3个。也就是一旦出现3个，只能说明他们线性相关。

追问

感谢您的回答。

Answer 3

知道B秩为1，才能知道B的所有0特征值的个数。
题目中根据方程|λE-B|=0,解出了B有两个特征值0和n，又因为B也是实对称矩阵，一定可以对角化，它和一个对角阵相似，和对角阵的秩相同，所以对角阵的对角线上非零元素个数就等于矩阵的秩。B的秩为1，那么对角阵也只有一个n(B的特征值)了，n阶矩阵一共有n个特征值，除去这一个非零的,其余还有n-1个0特征值。

追问

？？？？？？