Question

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知(1,e)和(e,√3/2)都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率

(1)求椭圆的方程 这问我自己做出来了，主要是第二问
(2)设A,B是椭圆上位于x轴上方的两点且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P
①若AF1-BF2=√6/2，求直线AF1的斜率
②求证：PF1+PF2是定值
求详细答案，跪求啊~~拜托了

Answer 1

这个计算量有点大

先把BF2延长了，在x轴下方得到交点Q(m, n)，
验证OAF1, OQF2是全等三角形,
Q是A关于O的对称点, 距离QF2 = AF1

再设在BF2直线方程
y = k(x-c)
代回椭圆方程
得B,Q两点坐标. 其中abc 第一步已经求得, 所以只是k的关系式

①用 距离关系算一下,把BF2, QF2,代入AF1-BF2=√6/2,就可得到k了.
②用对称关系得 A的坐标 A(-m, -n), m,n 是k的关系式, 可以求出P的坐标, 也是只有k的关系式,
PF1,PF2 两个距离也算出来, 是关于k的关系式. 只要题目没问题, PF1,PF2相加时,一定可以把k消掉

就得PF1+PF2是定值了

追问

抱歉，我刚刚忘记把图片发上来了，刚刚我按照你的方法做了下，可是神似OQF2不是全等三角

追答

一个内错角， 一个对顶角， 一条边OF1= OF2 =c
得到 全等三角