Question

高等数学：求微分方程满足初始条件的特解？

求微分方程y’=(y/x)In(y/x)满足初始条件y|(x=1)=e²的特解

Answer 1

令y=ux,y'=u+xu'

u+xu'=ulnu

分离变量得du/u(lnu-1)=dx/x

d(lnu-1)/(lnu-1)=dx/x

ln|lnu-1|=ln|x|+C

lnu-1=Cx

当x=1时y=e²,所以u=e²,代入上式解得C=1

所以lnu=x+1

ln(y/x)=lny-lnx=x+1

lny=lnx+x+1

y=xe^(x+1)

物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 

Answer 2

解：∵(x-siny)dy+tanydx=0==>xdy+tanydx-sinydy=0==>xcosydy+sinydx-sinycosydy=0 (等式两端同乘cosy)==>d(xsiny)-d((siny)^2)/2=0==>xsiny-(siny)^2/2=C/2 (C是常数)==>(2x-siny)siny=C∴原方程的通解是(2x-siny)siny=C于是，把y(1)=π/6代入通解，得C=3/4故原方程满足所给初始条件的特解是(2x-siny)siny=3/4。

Answer 3

令y=ux,y'=u+xu'
u+xu'=ulnu
分离变量得du/u(lnu-1)=dx/x
d(lnu-1)/(lnu-1)=dx/x
ln|lnu-1|=ln|x|+C
lnu-1=Cx
当x=1时y=e²,所以u=e²,代入上式解得C=1
所以lnu=x+1
ln(y/x)=lny-lnx=x+1
lny=lnx+x+1
y=xe^(x+1)

Answer 4

设 y/x＝u，则 y＝xu，
y'＝u＋xu'＝uln(u)，
所以 du/[uln(u) - u]＝dx / x，
积分得 ln[ln(u) - 1]＝ln(Cx)，
ln(y/x) - 1＝Cx，
把 x＝1，y＝e² 代入，得 C＝1，
所以可得 y＝xe^(x＋1)。

Answer 5

这个根据你给出的题目，很显然要想要解特解先要求通解，通解可以换元求解，即u=y/x，再进行求解。