Question

高一不等式恒成立问题： 给定一个范围,需要把两个端点带入计算么？？

如：若不等式4＾a/3-2＾a≥x+1/x对任意的x∈［1/2，3］恒成立，求实数a的取值范围。
（注：4＾a表示4的a次方，2＾a表示2的a次方）

Answer 1

解:该题属于比较典型的不等式恒成立问题。恒成立问题一般思路是构造函数，求其单调性，求最值。该题思路如下:
要使不等式4＾a/3-2＾a≥x+1/x对任意的x∈［1/2，3］恒成立，则应该求出不等式右端的最大值，只要左端大于等于右端最大值，则恒成立。
构造函数f(x)=x+1/x 然后证明单调性,对f(x)求导得:1-1/x*x=(x+1)(x-1)/x*x
导数大于0，单调递增；导数小于0，单调递减.知:
f(x)在[1/2,1]上单调递减，在(1,3]上单调递增，所以该函数的最大值在x=1/2或x=3处取得。
当x=1/2时，f(1/2)=5/2 当x=3时，f(3)=10/3
所以函数f(x)在[1/2,3]上的最大值是10/3。
4＾a/3-2＾a≥10/3 化简后得:4＾a-3*2＾a-10≥0
令t=2＾a，则上式=t*t-3t-10≥0 =>(t-5)(t+2)≥0 解之得: t≥5或t<=-2(舍弃) 因为t=2＾a>0
所以2＾a≥5 可得:a>log 2 5。(log以2为底5的对数)
综上所述a的取值范围为[log 2 5，正的无穷大)

如果您还不明白，可以随时和我联系，十分乐意为您效劳，祝您学习进步，谢谢！

追问

谢谢

追答

不客气，您的进步是我最大的骄傲，祝您成功，谢谢！

Answer 2

y=x+1/x, x∈[1/2，3],其最大值必定在端点处
y(1/2)=5/2 , y(3)=10/3， 故其最大值为10/3
因此有：4^a/3-2^a≥10/3，令 t = 2^a>0 , 则 t²/3-t≥10/3 , 及(t-5)(t+2)≥0 , 故 t≥5
2^a≥5 , 知 a ≥ log2(5)

追问

我的答案跟你一样，只是想问一下这样不带另一个端点可以嘛？

追答

大的那个端点都满足了，小的端点还能不满足么？好好理解下

追问

谢谢了，懂了

Answer 3

对于单调递增（递减）情况，把两个端点带入计算很有效

追问

我意思是已经确认单调性，就可取一个端点计算吗？例如这个题，单调递增，所以恒成立则大于最大值，故只取x=3，就没用x=1/2.对吗？或者麻烦您解一下这道题，谢谢了

追答

正因为您已经明确了“单调递增”，而根据以上网友解答，若令f(x)=x+(1/x)，该函数的最大值在x=1/2或x=3处取得，且f(1/2)<f(3)，而（1/2,3）范围内的x，f(x)<f(1/2)<f(3)，例如f(1)=2；所以使用右端点，如果使用左端点，势必会出现f(1)<f(3)的情况，就不符合题意