Question

如图所示,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E,F分别在AB,AC,BC上,且AD=AE，CD垂直平分EF，求证:BF=2AD

Answer 1

过D点做BC边垂线于点G，EF与CD交点为O，直角三角形CEO和直角三角形CFO中，EO=FO,CO=CO,则两直角三角形全等，得出角ECO=角FCO.
在直角三角形DGC与直角三角形ADC中，直角DGC=直角DAC,角GCD=角ACD,CD=CD,得出直角三角形DGC与直角三角形ADC全等，从而得出 AD=DG,
直角三角形DGB是等腰三角形所以DG=BG,又因为两次全等AC=CG,CE=CF,得出AE=GF, AD=GF,得出AD=DG=GF=BG.所以2AD=BG+GF=BF

Answer 2

图呢。。。

追问

追答

渣图。。。不过做出来了。连接DE。
∵AD=AE ∠A=90° ∴△ADE为等腰直角三角形
设AD=AE=1 根据勾股定理，DE=√2
又∵CD垂直平分EF 即可证△CFO≌三角形CEO（SAS）
又AB=AC ∠A=90° ∴△ABC为等腰直角三角形
∴∠FCO=∠ECO=22.5° ∴∠CEO=∠CFO=67.5°
又∠AED=45° ∴∠DEO=180°-45°-67.5°=67.5°
即可证△DEO≌△CFO（ASA）

∴DE=CF=CE=√2
又等腰直角△ABC中 ，根据勾股定理求得BC=2+√2

又CF=√2 ∴BF=2
又AD=1
∴BF=2AD
证毕。

PS：可能有更简单的做法吧？。。。我也不知道