Question

高中数列难题，请数学天才解答、

Answer 1

1.对原式两边开方,得
an+a(n+1)-1=2√[ana(n+1)],
即 [√an-√a(n-1)]²=1.
由题设知{an}单调增,a1>0,
∴√an-√a(n-1)=1
∴√an=n
即an=n².
对于自然数n≥2有n²>n²-n
所以1/n²<1/[n(n-1)]=1/(n-1)-1/n
(1/2)²+(1/3)²+(1/4)²+......+(1/n)²<1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.......+1/(n-1)-1/n=1-1/n<1
所以1/1+(1/2)²+(1/3)²+(1/4)²+......+(1/n)²<1+1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+.......+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2
即1/a1+1/a2+......+1/an<2
2.anbn=(n^3+n^2)/(n+3)^2
bn=(n+1)/(n+3)^2
b(n+1)-bn
=(-n^2-3n+2)/[（n+4)^2(n+3)^2]<0
说明bn是递减数列
即b1>b2>b3>b4>.............>bn
又因为b1=1/8
b2<1/8
b3<1/8
所以b1+b2+b3+b4+........bn<1/8+1/8+1/8+1/8+........+1/8=n/8(n>=2)

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Answer 2

第一问，可以解得a2=4,a3=9,a4=16。可以用数学归纳法，归纳出该数列的通项公式为an=n^2
接着，进行放缩。显然，n*n>n*(n-1)，所以1+1/4+1/9+1/n^2<1+1/(1*2)+1/(2*3)+……+1/n*(n-1)，裂项相消，可得原式等于1+1-1/n<2，证毕
第二问，由于an已经求出，那么可以得到bn=（n+1)/(n+3)^2，之后就不知道了……

Answer 3

第二问暂时没想明白

Answer 4

我不是数学天才，所以。。。。。。。