Question

如图,⊿ABC是等边三角形,D是边AC上一点,E是边BC延长线上一点,CE=AD

如图,⊿ABC是等边三角形,D是边AC上一点,E是边BC延长线上一点,CE=AD（1）若D为AC的中点时，求证:DB=DE;

(2)若不是AC的中点，DF∥BE,则（1）中的结论是否成立，并加以证明。

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Answer 1

考点：等边三角形的性质；等腰三角形的判定与性质．专题：几何综合题．

 

分析：（1）过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，根据等边三角形的性质得到∠A=∠ACB=60°，AB=AC，则∠F=60°，∠ECF=60°，得到△CEF为等边三角形，于是EF=CE=CF，易得AD=EF，AC=DF=AB，根据三角形全等的判定可得到△ABD≌△FDE，即可得到结论；
（2）先根据题意画出图形，和（1）证明一样：过E作EF∥BD交AC的延长线于F点，先证明△CEF为等边三角形，然后证明△ABD≌△FDE即可．

解答：（1）证明：过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，
AB=FD，
∠A=∠F，
AD=FE，
∴△ABD≌△FDE，
∴DB=DE；

（2）解：如图，（1）中的结论还成立，即有DB=DE．证明如下：
过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF，DF=AC=AB，
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE．

 

第一小题

 

第二小题

Answer 2

：（1）证明：过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，
AB=FD，
∠A=∠F，
AD=FE，
∴△ABD≌△FDE，
∴DB=DE；

（2）解：如图，（1）中的结论还成立，即有DB=DE．证明如下：
过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF，DF=AC=AB，
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE．

 

Answer 3

1 过D点做BE的垂线 垂足为F △ABC 是等边三角形 所以 ∠DBE=∠ABD=30° 因为∠ACB=60° 所以∠DCE=120° 因为AD=DC=CE 所以△DCE是等腰三角形 所以∠CED=∠CDE=30° ∠DEF=∠DBF∴ 三角形BDE是等腰三角形 ∴ BD=DE
2 相等 ∵FD平行BC ∴ △AFD也是等边三角形 所以 AD=DF=CE ∠DFB=∠DCE=120°
BF=AB-AF CD=AC-AD AF=AD AB=AC ∴ BF=CD ∴△BFD与△CDE 相等 所以 BD=DF