Question

如图，正三角形ABC的边长为3+根号3 ．

如图，正三角形ABC的边长为3+根号3
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．

Answer 1

．根号掉了

（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′=33x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+33x+33x=3+3，
∴x=9+3
32
3+3，即x=33-3，
（没有分母有理化也对，x≈2.20也正确）

（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），
它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n．
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．
∴S=m2+n2=12PN2，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即33m+m+n+33n=3+3，化简得m+n=3．
∴S=12[32+（m-n）2]=92+12（m-n）2
①当（m-n）2=0时，即m=n时，S最小．
∴S最小=92；
②当（m-n）2最大时，S最大．
即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n=3，
由（2）知，m最大=33-3．
∴S最大=12[9+（m最大-n最小）2]
=12[9+（33-3-6+33）2]
=99-543…．
（S最大≈5.47也正确）
http://www.jyeoo.com/math/ques/detail/5092485b-6d5b-4ae6-b899-866d25dd7673

Answer 2

（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′=33x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+33x+33x=3+3，
∴x=9+3
32
3+3，即x=33-3，
（没有分母有理化也对，x≈2.20也正确）
（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），
它们的面积和为S，则NE=2m，PE=2n．
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．
∴S=m2+n2=12PN2，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即33m+m+n+33n=3+3，化简得m+n=3．
∴S=12[32+（m-n）2]=92+12（m-n）2
①当（m-n）2=0时，即m=n时，S最小．
∴S最小=92；
②当（m-n）2最大时，S最大．
即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n=3，
由（2）知，m最大=33-3．
∴S最大=12[9+（m最大-n最小）2]
=12[9+（33-3-6+33）2]
=99-543…．

Answer 3

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