Question

设f(x)为连续函数,且f(x)>0,x∈[a,b],F(x)=∫(a,x)f(t)dt+∫(x,b)1/f(t)dt,x∈[a,b],证明方程F(x)在区间

设f(x)为连续函数,且f(x)>0,x∈[a,b],F(x)=∫(a,x)f(t)dt+∫(x,b)1/f(t)dt,x∈[a,b],证明方程F(x)在区间[a,b]上有且只有一个实根。
是F(x)=∫(a,x)f(t)dt+∫(b,x)1/f(t)dt 就是从a到x，从b到x

Answer 1

可证明F(x)在[a, b]连续.
而F(a) = -∫{a,b}1/f(t)dt < 0, F(b) = ∫(a,b)f(t)dt > 0.
于是F(x)在[a,b]中有零点.
对a ≤ x1 < x2 ≤ b, 有F(x2)-F(x1) = ∫(x1,x2)f(t)dt+∫(x1,x2)1/f(t)dt > 0.
即F(x)在[a, b]为严格增函数, 故[a,b]中零点唯一.

Answer 2

F(a), F(b)的值是否应换一下