Question

已知函数f(x)满足f(3)=1/3,3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),求f(1812)

Answer 1

3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)

let y = 3, so f(x) = f(x+3) + f(x-3), so f(x+3) = f(x) - f(x-3)

let x=3, so f(y) = f(3+y) + f(3-y), so f(0) = 2/3

f(1812) = f(1812-3) - f(1812-6)

=f(1812-6)-f(1812-9) - f(1812-6) = -f(1812-9)

=[(-1)^201] * f(1812-9*201)

=-f(3) = -1/3

概念

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。

自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。

因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。

函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

Answer 2

因为f(3)=1/3，3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
令y=3，得f(x)=f(x+3)+f(x-3)
所以，f(x-3)=f(x)+f(x-6)
两式相加，得 f(x+3)+f(x-6)=0
即，f(x)=-f(x-9)
又，f(x-9)=-f(x-18)
所以，f(x)=f(x-18)
即，f(x)=f(x+18)
所以，f(x)的周期为18
1812＝18×100＋12
所以，f(1812)=f(12)
又，f(12)=-f(3)=-1/3
所以，f(1812)=-1/3

Answer 3

3f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),

let y = 3, so f(x) = f(x+3) + f(x-3), so f(x+3) = f(x) - f(x-3),

let x=3, so f(y) = f(3+y) + f(3-y), so f(0) = 2/3,

1812= 3*604,

f(1812) = f(1812-3) - f(1812-6)
=f(1812-6)-f(1812-9) - f(1812-6) = -f(1812-9)
=[(-1)^201] * f(1812-9*201)
=-f(3) = -1/3