Question

已知椭圆的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上，离心率为√6/3

①求椭圆的方程
②设椭圆与直线y=kx加m(k≠0)相交于不同的两点M,N,当|AM|=|AN|时，求M的取值范围

Answer 1

1,
求椭圆的方程:
设方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
由已知， b=1
又有关系式：
a^2 = b^2 +c^2
c/a = √6/3
解得

a = √3
所以椭圆的方程
x^2 / 3 + y^2 = 1

2,
求交点：
x^2 / 3 + y^2 = 1
y=kx+ m
y=kx+ m代入x^2 / 3 + y^2 = 1， 后得一元2次方程：
x^2 / 3 + （kx + m）^2 = 1
且已知由2个不等的根。

整理得
（3k^2+1）x^2 + 6kmx + 3m^2 -3 =0
Delta = (6km)^2– 4(3k^2+1) (3m^2-3) >0
X1+x2 = -6km/(3k^2+1)

再看距离关系：
(x1-0)^2 + （kx1+m –(-1)）^2 = (x2-0)^2 + （kx2+m –(-1)）^2
移项用平方差化简
(x1-x2)(x1+x2) = -( kx1+m+1 –kx2-m -1) (kx1+m+1+kx2+m+1)
两边同除(x1-x2)
(x1+x2) = -k (k(x1+x2) + 2m +2)
所以
-6km/(3k^2+1) = -k (k(-6km/(3k^2+1)) + 2m +2)
解之得
m =(3k^2+1)/2
或(3k^2+1)=2m

代回Delta式， 消去k
得
-12m^2 +24m>0
因为m =(3k^2+1)/2 > 1/2
所以m < 2
即（1/2，2）