Question

定义n!=1*2*3*....*(n-1)*n,例如4！=1*2*3*4，化简1/2！+2/3！+n/(n+1)!

Answer 1

2.,
n=1.,即可证明,恒有.:
2√[n(n+1)]＜2n+1,可得
an＞n(n+1)/,,4..;
∴an＜(n+1)².:√[n(n+1)]＞n
由此可得
√(1*2)＞1
√(2*3)＞2
,可得
2(an)＜n+n(n+1)=n².,4.
2√[n(n+1)]＜2n+1
上面式子累加...+√[n(n+1)].,
∴恒有,3..
√[n(n+1)]＞n
累加.....;/,3.,.,.,.,
由此可得
2√(1*2)＜2×1+1
2√(2*3)＜2×2+1
2√(3*4)＜2×3+1
.
[[[[1]]]
由基本不等式可得,,,,2:n(n+1)＞n²..an=√(1*2)+√(2*3)+√(3*4)+,.
n=1.;2
[[[[2]]]]
易知;.....;+2n＜(n+1)²2
上面结合起来:
2√[n(n+1)]＜n+(n+1)
即恒有