Question

已知定义域为[0,1]的函数f（x）同时满足以下三个条件 ①对任意的x∈[0,1]总有f（x）≥0 ②f（1）=1

已知定义域为[0,1]的函数f（x）同时满足以下三个条件
①对任意的x∈[0,1]总有f（x）≥0
②f（1）=1
③当x1，x2∈[0,1]，且x1+x2∈[0,1]时，f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立
称这样的函数为”友谊函数“
请解答下列各题：
（1）已知f（x）为”友谊函数“，求f（0）的值
（2）函数g（x）=2的x次方-1在区间[0,1]上是否为”友谊函数“？请给出理由
（3）已知f（x）为”友谊函数“，假定存在x0∈[0,1],使得f（f（x0））=x0，求证f（x0）=x0

Answer 1

（1）令x1=x2=0,得f(0)>=2f(0),
∴f(0)<=0,
由①，f(0)>=0,
∴f(0)=0.
(2)g(x)=2^x-1,满足①，②。
g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]
=2^(x1+x2)-1-[2^x1-1+2^x2-1]
=2^(x1+x2)-2^x1-2^x2+1
=(2^x1-1)(2^x2-1)>=0,
∴③成立。
g(x)是友谊函数.
（3）设f(x0)=a≠x0,
若a>x0,则f(a)=f(x0+a-x0)>=f(x0)+f(a-x0)>=a>x0,矛盾；
若a<x0,则x0>a=f(x0)=f(a+x0-a)=f(a)+f(x0-a)>=f(a),矛盾。
∴f(x0)=x0.