Question

函数f（x）=ax3+bx2+cx的导函数为f'（x），且满足f（1）=0，f'（0）f'（1）＞0

（1）证明函数f（x）必有两个极值点（2）求证0＜c/a＜1

Answer 1

f'（x）=3ax^2+2bx+c

f（1）=0，得到a+b+c=0

f'（0）f'（1）＞0，得到c(3a+2b+c)>0，c(a-c)>0

1. f'（x）的判别式为4b^2-12ac=4(a+c)^2-12ac=4(a-c)^2+4ac

   无论ac是正还是负，判别式都大于0（显然a,c不能同时为0，否则b=0）

   故函数f（x）必有两个极值点

2. c(a-c)>0；ac(1-c/a)>0，同时除以a^2；得到c/a(1-c/a)>0，即0＜c/a＜1